Processos Estocátiscos I

Confiabilidade de Sistemas: Falhas e Reparo

Nielson Junior
Alisson Lucas
André Werlang

27 de setembro de 2025

Introdução

Contexto

  • Sistemas em paralelo aumentam a confiabilidade
  • Redundância em setores críticos:
    • Energia elétrica
    • Servidores de internet
    • Sistemas de transporte
    • Processos industriais

Objetivo do Projeto

  • Modelar sistema com 2 componentes idênticos em paralelo
  • Analisar falhas (p) e reparos (q) como cadeia de Markov
  • Simular dinâmica do sistema em R
  • Estudar confiabilidade do sistema

Modelagem do Sistema

Estados do Sistema

  • Estado 2: Ambos componentes funcionando
  • Estado 1: Um funcionando, um falhado
  • Estado 0: Ambos falhados

Probabilidades de Transição

  • p: Probabilidade de falha (componente funcionando)
  • q: Probabilidade de reparo (componente falhado)

Matriz de Transição

Cálculo das Probabilidades

Do estado 2: - Permanecer em 2: (1-p)² - Ir para 1: 2p(1-p) - Ir para 0: p²

Do estado 1: - Ir para 2: (1-p)q - Permanecer em 1: pq + (1-p)(1-q) - Ir para 0: p(1-q)

Do estado 0: - Ir para 2: q² - Ir para 1: 2q(1-q) - Permanecer em 0: (1-q)²

Matriz Resultante

\[ P = \begin{pmatrix} (1-q)^2 & 2q(1-q) & q²\\ p(1-q) & pq + (1-p)(1-q) & (1-p)q\\ p² & 2p(1-p) & (1-p)² \end{pmatrix} \]

Verificando a validade da matriz

  • Uma matriz de transição é válida se satisfaz as duas propriedades fundamentais:

    1. \(P(x,y) \geq 0, \hspace{5mm} \forall x,y \in \mathcal{S}\).

    2. \(\displaystyle \sum_{y \in \mathcal{S}}P(x,y) = 1, \hspace{5mm} x \in \mathcal{S}\).

Verificando a validade da matriz

  • Soma na linha 1 da matriz: \[\begin{align*} (1-q)^2 + 2q(1-q) + q^2 &= (1-q)[(1-q) + 2q] + q^2\\ &= (1-q)(1+q) + q^2\\ &= 1 - q^2 + q^2\\ &= 1. \end{align*}\]

Verificando a validade da matriz

  • Soma na linha 2 da matriz: \[\begin{align*} p(1-q) + pq + (1-p)(1-q) + (1-p)q &= p - pq + pq + (1-p)[(1-q) + q]\\ &= p + (1-p)[1 - q + q]\\ &= p + (1-p)\\ &= p + 1 - p\\ &= 1. \end{align*}\]

Verificando a validade da matriz

  • Soma na linha 3 da matriz: \[\begin{align*} p^2 + 2p(1-p) + (1-p)^2 &= p^2 + 2p - 2p^2 + 1 - 2p + p^2\\ &= 2p^2 - 2p^2 + 2p - 2p + 1\\ &= 1. \end{align*}\]

Classificação dos estados

  • A matriz indicadora dessa cadeia corresponde a matriz de uma cadeia markoviana irredutível:

\[ \mathcal{I} = \begin{pmatrix} + & + & +\\ + & + & +\\ + & + & + \end{pmatrix} \]

  • Como o espaço de estados é finito então todos os estados da cadeia \(\mathcal{S} = \{0,1,2\}\) são de recorrência positiva.